TRITOON - Ruutjuur kaks muusikas.

Videol esitab Tõnis (elus esimest korda rohkem kui 3 inimese kuuldes) loo kesköistest tontidest.
Loo keskel on aga kulminatsiooniks akord, mis õigustab sellele linkimist siin - tritoon, tõeline tont muusikaajaloos!

Üheks esimeseks veidraks arvuks, mille üle juba vanad kreeklased pead murdsid, oli ruutjuur 2. See arv ei väljendunud kuidagi kahe täisarvu suhtena, s.t. ratsionaalarvuna.
Välja joonistada sellise pikkusega lõiku oli aga väga lihtne: täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, mille kaatetid on pikkusega üks, selle hüpotenuus annab pikkuseks ruutjuur(2).
Kellel Püthagorase teoreem peas, veendub selles kergesti.
Et selliseid arve kirjeldada, tuli matemaatikutel leiutada reaalarvude mõiste, mis paratamatult sisaldab ennast lõpmatut protsessi: ühelgi hetkel, kui oleme ruutjuur kahe kümnendkohti piisavalt hästi arvutanud, ei ole see asi meil ikka veel peos, ükski superarvuti ei vii meid sellele oluliselt ligemale, ükski miljard kümnendkohta ei aita meid lõpmatuseni lähemale, oleme sealt ikka täpselt sama kaugel, kui alguses.
Reaalarvud on selles mõttes ülimalt imaginaarsed. Hoolimata sellest võime reaalarvude abiga väga hästi kirjeldada maailmas toimuvat. Kummaline, kas pole??
Naljakas, aga selle võimatu ruutjuur kahe otsa komistasin endale täiesti ootamatus kontekstis - kui uurisin muusikas olemasolevaid intervalle, nende tähistusi ja nimetusi.
Sellel teel aitas mind hästi Blake Neely "Piano for Dummies", aga oleks küllap aidanud mõni teinegi õpik. Kuid ühes kohas jäin hätta ja pidin abiks võtma Interneti otsingumootori ja siingi jäid muusikateoreetikud ootamatult napisõnalisteks.
Ning mis matemaatiline üllatus - see selgusetu koht osutus sageduste suhteks, mis vastab matemaatikas täpselt ruutjuur kahele! Et Blake Neelyl nimetatud intervalli õpikus ÜLDSE polnud, ei osutunud sugugi juhuseks.
Miks selle tritooniga lood nii segased on? Selle väljaselgitamisega üritangi siin tegelda.


Veidi sussaninlik sissejuhatus muusikateooriasse:




Kõigepealt, veidi aluste aluseid. Kes veel ei tea - Läänemaailmas (aga tõendatult ka Kreekas, vahest ka Egiptuses) aluseks olev muusikaline mõtlemine põhineb 7 -l põhitoonil, nimetustega
do, re, mi, fa, sol, la, si, siis jälle do, ja see do jällegi on sellest esimesest do-st 2 korda suurema sagedusega. Nimetatud kujul moodustavad nad nn. mazhoorse gamma ehk helirea.
do on ainult meie jaoks helirea algus ja lõpp, alguspunktiks võib olla ka re, mi, fa, sol, la ja si-gi.
Kreekas on selliste laadide tähistusteks vanad maakondade nimetused:
do -st lähtuv oli joonia helirida
re -st dooria
mi-st früügia. viimane oleva väga agressiivset meeleolu tekitav..
fa-st lüüdia
sol-st miksolüüdia
la-st eoolia (tavaline minoor)
si-st lokria

Need read lähevad muidugi täpselt niisamuti veel ülespoole ja allapoole, minu klaveri Ukraina peal kokku 7 oktaavi, do-do rida nimetatakse veel ka oktaaviks.
Veel nimetakse neid noote eriti ingliskeelses kirjanduses ebamugavalt tähtede abiga -
C,d,e,f,g,a,h,c ja si bemoll eraldi ära märgituna kui b(pool tooni madalam si -st, s.t. musta klahvi peal). Vahel on tähistatakse hoopis si-d b-ga ja sel juhul b bemoll on siis see b. (vt. näiteks mulle esimesena ettejuhtunud joonist sellise süsteemiga!) Segadusi juba siingi piisavalt!
Üllatavalt palju laule saab hästi ära laulda, kasutades ainult neid valgeid klahve, olgu näiteks krestomaatiline RONGISÕIT. Kui nüüd lauljatele loo mõned noodid liiga kõrgele või madalale lähevad, tuleks algustooni kõrgendada või madaldada, aga oh häda - mõned noodid peavad nüüd kolima mustade klahvide peale, kui teile muidugi ei meeldi eksperimenteerida eksootiliste Vana-Kreeka maakondade laadidega ja piirdute rõõmsalt optimistliku mazhooriga (kahjuks vaid alguses).
Selliseid abistavaid musti klahvi on kokku 5 ja tuleb välja, et nendega saab täitsa hakkama. Need on kaks musta do - re ja re-mi vahel ning 3 klahvi fa-sol, sol-la ja la-si vahel.
Nimetada võib neid kas pool tooni kõrgemaks , kui vastav eelnev valge klahv, sõna diees abiga, do - re vahel paikneva musta klahvi puhul siis do diees,
või pool tooni madalamaks järgnevast valgest klahvist, do -re vahelise klahvi puhul siis re - bemoll. Valik on enam-vähem vaba, kuidas parajasti meeldib.
Muusikateoreetikutel on siin juba tohutu palju nüansierinevusi ja rääkimisi, kuid ma sõidan sellest pigem teerulliga üle.
Laulge rongisõitu, kui alustate re-st, tuleb mängu fa diees fa asemel, mi st alustades on vaja fa dieesi ja sol dieesi ja moraliseerivas lõpus ka do dieesi, fa-st piirdub asi ühe bemolliga, si bemolliga, si pealt alustades aga lähevad mustaks do, re, fa...
Nii tulidki mustad klahvid, arvatavasti, et teha vaarao ülistuslauljatele suupärasemaks mõnda laulu, tõstes selle sobivasse helistikku. Näiteks midagi sellist : suur vaarao, ta oli üllas, hm esilaulja hääl ei võta seda nooti, laulame seda veidi madalamalt.

Intervallide nimetamisest

Veidi etteruttavalt: klaveri või süntesaatori 12 klahvi (korrutatud oktavite arvuga) iga kaks kõrvutiasetsevat klahvi on üksteisest poole tooni (1/2 tooni) kaugusel ja normaalsed inimesed - matemaatikud (täpsemalt, ühed vähesed, kes on normaalsed inimesed) nimetaksid intervalle nende pooltoonide arvu järgi. Kuid muusikud ei tee nii. Põhjused on ajaloolised, mustad klahvid on siiski algselt muusikas olnud vaid abiklahvideks, võõrkehadeks, orjadeks, allutatuna valgetele klahvidele. Seetõttu võeti intervallide defineerimisel aluseks ikkagi põhihelirida ja mustade klahvidega hakatakse jändama alles hiljem, põhjustades palju peavalu solfedzotunnis kasvõi terminoloogilise segadiku tõttu, mida saab seetõttu ajada.
Niisiis võtame aluseks meie do re mi fa sol la si do. Iga klahv saab oma numbri, do on 1, re on 2, mi 3, fa 4, sol 5, la 6, si 7, ülemine do on 8.
Kellel on nüüd selge ladina keel, on ülejäänud asi lausa kukepea - kõik intervallid on ladina keele järgarvsõnadest tuletatud.
1., esimene - primus, PRIIM on 0 intervall, do ja do vahel. Teoreetiline ilustus intervalliteooriale. Seda kooskõla nimetatakse veel unisooniks ja see on teoreetiline ka veel teises mõttes, füüsikaliselt. Nimelt füüsikas ei ole võimalik saada kahte pillikeelt täpselt ühtemoodi kõlama, punnitagu häälestajad kuidas tahavad.
2 - secundus, SEKUND on intervall do ja re vahel (2 pooltooni, s.t. 1 toon)
3 - tertius, TERTS, do - mi, 2 tooni.
4 - quartus, KVART - do -fa, 2.5 tooni
5 - quintus, KVINT - do -sol, 3,5 tooni.
6 - sextus, SEKST - do - la, 4,5 tooni
7 - septimus, SEPTIM, do -si, 5.5 tooni.
8 - octavus, OKTAV või ka OKTAAV - do -kõrgem do, 6 tooni.
Edasistel intervallidel on ka nimetused, kuid jätame tähe närimise, neid saab käsitleda nn. liitintervallidena, oktav + oktavist väiksem intervall ja sellest täiesti piisab.

Kuidas aga vahepealsete intervallidega hakkama saadakse?

Siin algab koht segadustele, kuna iga musta klahvini võib jõuda kahel moel - alt üles (mõnda intervalli suurendades), või ülalt alla, mõnda intervalli vähendades. Nii on igal võimalikul intervallil valge ja musta klahvi vahel vähemalt kaks tuletusviisi. Kui aga mängu tulevad kaks musta klahvi, saab nendeni jõuda ju koguni neljal erineval viisil.
Edasist süvenevat abakadabrat sellel teemal soovitan ignoreerida, eriti kui kohtate termineid enharmooniline intervall etc...kui te just ei püri konservatooriumi professoriks.

Kellele need mustade klahvidega intervallid segadustest hoolimata korda lähevad, sest kuidagi on vaja neid ju nimetada, pakun välja sellise alamsüsteemi, mis ei lähe vähemalt vastuollu intervalliteoreetikutega.
Võtame mõne põhiintervalli ja vähendame seda poole tooni võrra.
Tulemi nimetamiseks täiendame seda nimega VÄIKE. Tritooni, do - fa- diees puhul teeme erandi ja nimetame selle tritooniks, kuna lihtsalt nii ei tohi öelda - VÄIKE KVINT.
(Selle asemel öeldakse VÄHENDATUD ja et segadus veelgi fataalselt segasem oleks, on vähendatud terts juba terve tooni võrra allpool, s.t. tegelikult sekund ...)
Sellega anname omamoodi au keskaja teoreetikutele, kellele kirikus sellise akordi kõlamine oleks olnud pühaduseteotus.

Nii saame järgmised intervallid:
1. väike sekund, do - do diees - 0.5 tooni.
2. väike terts, do - re bemoll - 1.5 tooni.
3. võiks saada väike kvint, 3 tooni, do - fa diees, aga sellist asja ei ole millegipärast intervalliteoorias olemas. Kasutame tulemi nimetamisel neutraalset nime TRITOON.
4. väike sekst. do - la bemoll, 4 tooni
5. väike septim, do - si bemoll, 5 tooni.


Matemaatika ja muusika:

Miks aga just need 12 (7, 5 ) tooni, võiks küsida.
Kõige aluseks tonaalsele harmooniale on meie kõrva iseäralik võime tunda ära, kui kahe tooni ülemsagedused ühtivad. See on võimalik siis, kui ühe tooni sagedus on ratsionaalarvulise suhte võrra (korda) kõrgemal, kui etteantud toon.
Heli ise aga, olgu ta puhtaima oreli, klaveri pealt tulnud, sisaldab alati mitut võnkumist.
Suhteliselt normaalsetel pillidel on neid kõrvalvõnkumisi vähem, üks on põhivõnkumine, mis määra heli kõrguse, järgnevad ülemtoonid, vastavalt 2, 3, 4, 5... ja N korda kõrgema sagedustega).

12 põhiheli (esialgse) tuletuse aga saame tehtud vaid KAHTE intervalli kasutades:
KVINT ja OKTAV.
KVINT vastab sageduste suhtele 3:2 ja on hea muusikalise kuulmisega inimesele hästi adutav.

KVINDI ja OKTAVI kaugusel olevad toonide sageduste suhe on 1:3.
OKTAVI kaugusel olevad helide sagedused suhtuvad aga nagu 1:2, sellises sagedussuhtes helid tunduvad olevat peaaegu samad või samased.
Tähistame + -ga vastava intervalli võrra ülespoole liikumist, - ga allapoole.
Lõppu kirjutame juurde veel kommentaariks põhitooni ja tuletatud tooni suhte, millele tulem vastab:
2**x tähistab kaks astmes x-i, 3**y 3 astmel y-t,
Nii saame kohe 5 põhitooni (millest edasi Ida muusika ei pidanudki vajalikuks minna)

do + kvint = sol, do-sol sageduste suhe 3/2
do - kvint + oktav = fa, või ka nii: do + kvart = fa, do - fa sageduste suhe 4/3 või (2**2)/3
do + kvint + kvint - oktav = re, do - re sageduste suhe 9/8 või (3**2)/(2**3)
re,+ kvint = la, do la sageduste suhte 27/16 või (3**3)/(2**4)
Egiptuse (?), Kreeka, ja praegune Lääne muusika ei rahuldunud nende toonidega ja lisaks tuletati veel 2 tooni kvinte kasutades:
la + kvint - oktav = mi, do-mi sageduste suhe 81/64, (3**4)(2**6).
Muuseas, just see toon on vähemalt tänapäeval aluseks teistele sagedustele (ei pea ka siin lähtuma do-st, valik on siin do põhine vaid klaviatuuri keskpunktis paiknemise tõttu.
La sagedus peab siis tänapäeval, alates vist 1939-st aastast, olema 440 Hz. Valged Steinway klaverite La-d mdx ei ole 440 Hz peal, vaid võbelevad hoopis 443 korda sekundis (vt. Ants Saluraidi netisaidilt lähemalt, [7])
mi + kvint = si, do-si sageduste suhe on 243/128 (3**5)/(2**7).

Natukene kriitilisemale inimesele tundub üsna jabur see, et ilusale kõlale do - mi vastab selline suure lugeja ja nimetajaga suhe nagu 81/64. Mis suhtele see paremini vastab, sellest allpool loomuliku häälestust käsitledes.

Aga 7 toonist jäi siiski ka väheks, eriti kui oli vaja mingit viisi tõsta või madaldada vastavalt lauljate hääleulatusele. Tuleb välja, et sedasama kvindi meetodit kasutades saab do-do vahelt kätte veel 5 tooni ja need tulevad järgmised.


si + kvint - oktav = fa diees, suhteks 729/512, (3**6)/(2**9)
See kole suhe ongi TRITOON ja selle häälestusviisi põhiselt ei kõlanud see tõesti eriti hästi.

Ülejäänud mustad klahvid aga saab kavalalt kätte kvinte pidi hoopis ALLAPOOLE liikudes, mistõttu lugejate ja nimetajate suhtelise väiksuse tõttu nendega moodustatud akorde ehk nii ei põlatud ...

si bemoll = fa - kvint + oktav, do - be suhe 16/9. (2**4)/(3**2)
mi bemoll = si bemoll - kvint, do - mi bemolli suhe 32 /27 (2**5/3**3).
Märkigem jälle, et ilusale minoorsele akordile vastab inetult suure lugeja ja nimetajaga suhe.
la -bemoll = mi bemoll - kvint + oktav, do - la bemolli suhe on 128/81, (2**7)/(3**4)
do diees = la bemoll - kvint, do-do dieesi suhe on 256/243.


Edasi aga saame kätte jälle fa dieesi

fa diees = do diees - kvint + oktav, do-fa dieesi suhe tuleb 1024/729 (2**10/(3**6)
Miks edasi uusi toone ei saa, selgub sellest, et tuletatud suhe
1024/729 on enamvähem sama, mis 729/512, ehk teisiti öelduna,
(2**10)/(3**6) on ligikaudu sama, mis (3**6)/(2**9), ehk
2**19 = umbes 3*12, ehk 524 288 /531441 = 0.987
Nii väikseid sageduste suhteid, mis erinevad 1% võrra, treenimata inimkõrv ei suuda eristada.
Järelikult uusi toone kvinte pidi liikudes enam ei saavuta ja see põhjendab ka selle, mis Lääne muusikas on kasutusel 12 tooni.
Rohkemateks eristusteks kõrv ei ole eriti suuteline.
Toodud meetodit nimetatakse Püthagorase häälestuseks ja seda kasutati teoorias kuni renessansiajani oma pillide häälde keeramisel.
Praktikas ilmselt häälestati tunde järgi ka natukene teisiti, näiteks naturaalse häälestuse põhiselt. Aga kanooniline teooria põhines sellistel suhetel (näiteks orelivilede pikkused).


Harmooniline ehk naturaalne häälestus

Nägime Pythagorase häälestuse puhul, et mõned kooskõlad, suhtes 3/2 olev do - sol,
ja suhtes 4/3 olevad do ja fa, või siis la - re (suhe 3/2), on lihtsad ja kõrvale meeldivad.
Mõned jälle ei ole, nagu see tritoon, millest loo pealkiri - do - fa diees suhtega 729/512.
Ei ole kõrvale meeldiv kuulata, ei ole.
Äkki saaks seda süsteemi muuta harmoonilisemaks? Pythagorase häälestuses näiteks puuduvad üldse 4-ndikud, 5-ndikud, s.t. suhteid kõrgemate ülemsageduste vahel on üldse ignoreeritud? Esimesena keskajal tegi sellise tähelepaneku Walter Odington, kes märkis, et lauljad ja mängijad tavaliselt üritavad valida do - mi vahel "õige" suhtena 5/4, mitte 81/64, või minoorselt, do - mi bemoll lauldes valitakse välja intervall 6/5.

Kuid kõige selgemalt joonistas selle süsteemi välja Gioseffo Zarlino oma raamatus Institutioni Armoniche, millest osa 2 on ka bibliograafias (11).
Üks peamine saavutus on ilusa kolmkõla keskmise noodi, mi "õige" häälestus:
do - mi suhe on 5/4, minoorne do - mi bemoll on 6/5 jne...

Kokkuvõttev tabel Zarlino häälestusest, mida on hakatud nimetama ka naturaalseks häälestuseks, on selline, annan ainult suhted do ja vastava tooni vahel.

do - re bemoll: suhe 16/15
do - re : suhe 9/8
do - mi bemoll: suhe 6/5
do - mi : suhe 5/4
do - fa : suhe 4/3
do - fa diees : suhe 45/32 (ka siin ei ole tritoon põrmugi paremas seisus, see on see tolmurull, mis keskajal diivani alla peideti)
do - sol : suhe 3/2
do - la bemoll : suhe 8/5
do - la : suhe 5/3
do - si bemoll : suhe 9/5
do - si: : suhe 15/8
do - do : suhe 2:1

kõik tundub väga ilus do-st lähtuvana. Aga mis siis, kui läheme üle re mazhoori, näiteks sellesama rongisõidu puhul.
sel juhul suhe do - sol, mis oli ilus 3/2 teisendub mitte enam nii ilusaks suhteks re ja la vahel, mis annab 5/3 : (9/8), s.t. suhte 40/27.
See kole suhe enam nii meeldiv või naturaalne ei ole.
Et seda saaks naturaalseks, tuleks kasutusele võtta veel üks rida klahve, veidi kõrgemale häälestatud, kui ülaltoodud klahvid, ja vaja läheks ka ühte klaviatuuri, mis veidi madalamale häälestatud ja lõpuks läheks neid klaviatuure vaja veel ja veel..
Niisugune segadus ei tundu olevat üldsegi meeldiv.

Hästi tempereeritud klaveri mõistatus




Umbes samal ajal kui Zarlino oma süsteemi avaldas, leiutati ka logaritmid ja sageduste suhteid hakati avaldama tsentides (cent): sageduste suhtest leitakse logaritm alusel 2 ja see korrutatakse 1200-ga. Selle valemi järgi saab hästi hinnata seda, kui ühtlaselt on 12 tooni vastavas häälestussüsteemis paigutunud, võrdtempereeritud häälestuses on iga pooltooni suuruseks sada tsenti.
Enam-vähem sai selgeks, et kuhugi tuli ikka peita inetud kõlad ja küsimus on vaid selles, kuhu veeretada tolmurullid muusika pühakojas.
Üheks võib-olla tänagi veel vettpidavaks meetodiks, mille ikkagi tõrjus täielikult välja võrdtempereeritud häälestus, on Andreas Werkcmeisteri j.t. poolt välja pakutud erinevad "Hästi temperereeritud häälestused."
See korrutas erinevate mustade toonide sagedusi minugi poolt toodud suhte 524 288 /531441 = 0.987 ruutjuure ja neljanda astme juurtega. Valgete klahvide puhul üritati säilitada jälle (enam-vähem) puhtad kõlad.
Nende süsteemide kirjeldamine läheks väga pikale ja tõukaks siit kirjutisest eemale viimasegi lugeja, kes siiani on jõudnud.
Möönan häälestussüsteemide käsitluse lõpetuseks vaid, et hästi tempereerimise kombe tõrjus tasapisi välja ikkagi võrdtempereeritud häälestus - tolmurullide veeretamine ühe või teise altari alla lõpetati ja kõik toonid tehti ühtemoodi "halvasti" kooskõlavaks. Õnneks on vahed ilusate harmooniliste korral sedavõrd väikesed ja meie kõrvad juba nii rikutud, et vaevalt et oskame seda tähele panna.
Aga seevastu on kõik helistikud võrdväärsed partnerid helilooja käes, mis teeb
ilusa ja mõtestatud heliloomingu tegemise võib-olla lihtsamaks. Kõik tänapäeva heliloojad muidugi ei mõtle nii ja on oodata pigem vanade ja uute häälestussüsteemide rahumeelset kooseksistentsi, valik on juba kuulaja kõrvades ja maitses.

Aga Bachi aegadel võrdtempereeritud häälestus ei olnud levinud.
Pikka aega peeti Bachi küll võrdtempereeritud häälestuse pooldajaks - eeldab ju tema "Hästi tempereeritud klaver" kõigi helistike kasutamist.
Nii see aga siiski ei tundu olevat. Bachi uurijatest juhtis esimesena sellele tähelepanu
Herbert Kellner, kelle kaalutlustel Bach kasutas häälestussüsteemi, mis oli lähedane Werckmeisteri poolt esitatule.
Midagi kindlat väita ei saa, mis häälestust "Hästi tempereeritud klaver" siiski eeldaks.
Ootamatult selgus siiski, et võtmeks sellele mõistatusele võiks olla Bachi "HTK" esimese osa tiitelleht koos saladuslike ornamentidega lehekülje ülaservas:

Andreas Sparschuh-l õnnestus neile silmustele sellel lehel anda oma akustiline tähendus:
Sparchuh alustas noodist la, mille sageduseks tollal arvatavasti oli mitte 440 Hz (võnget sekundis), vaid 420 või 410. Edasi peaks häälestaja liikuma kvinte pidi edasi. Kui kvint oleks naturaalne, s.t. sageduste suhe oleks TÄPSELT 3/2, ei hakkaks akord tuiklema.
Kuna aga tuleb häälestada veidi mööda (nii on ka võrdtempereeritud häälestuse korral), siis tekib tuiklemine, umbes kord või kaks sekundis akordi tugevus kahaneb-kasvab, tuikleb. See on kiirel klaverimängul, kus pole pikki kooskõlasid, raskesti märgatav, aga häälestajale väga kasulik omadus, võimaldab teha ära täppishäälestuse (mida võiks nimetada ka täppismöödahäälestuseks, kuna ideaalseid häälestusskeeme ei ole võimalik leiutada).
Iga silmus tähistab ühte võnget sekundis, seega esimene silmus võiks tähistada la (a) ja mi vahelise akordi tuiklemist 1 korda sekundis.
Sparchuhi spekulatsioonidel on teatud matemaatiline põhjendus olemas, kuna tulemus sarnaneb tõesti üsna hästi Werckmeisteri häälestustele. Sellest hoolimata avas see oma Pandora laeka uutele spekulatsioonidele, kuna ühe ornamendi põhjal ilma korraliku kirjelduseta ei saa häälestussüsteemi ikkagi üheselt tuletada, tõlgendusvõimalusi on selleks liialt palju.




Tritooni juurde tagasi.

Jõudsime siis läbi kapata sissejuhatuse häälestustesse. Nüüd oleks aeg kurja juure, tritooni, juurde tagasi jõuda. Minule vähemalt ei jäänud silma, kes ja mis asjaoludel leiutas tritooni jaoks termini "Diabolus in Musica", "Saatan muusikas".
See termin jookseb küll läbi 18. sajandi muusikateadlaste uurimustest, aga keskaja omadest ei osata kedagi konkreetselt süüdistada. Nii võibki olla, et see saatanlikkus on sellele osaliselt pärast külge kleebitud?
Seda oli raske laulda, see ei kõlanud hästi, see intervall oli täpselt kahe ilusa ja puhta kõla vahel: kvart, suhtega 4:3 põhitooni ning kvint, 3/2 suhtega, millele kogu 12 tooni harmoonia on üles ehitatud. Püthagorase häälestuses vastas sellele suhe 729/512, üsna lähedane ruutjuur kahele, ei midagi harmoonilist ega ilusat. Võib-olla sellest piisas ja saatan pidi kusagil pühakojas ka pesitsema, taeva all peab kusagil peituma ka põrgu.
Ega teistelgi ilmalikel intervallidel alati kõige paremini ei käinud. Vaadake Boschi maale, seal on muusikutele põrgus päris õõvastavad kuradid kallale saadetud.






Vanas katolikus kirikus kõlbas laulda vaid a capella, laulda tohtisid vaid mehed ja needki põhiliselt puhtaid kõlasid, kvinte ja kvarte, vahel harva vahele mõni muu käik ka.
Oma kabalistlik sümboolika võis selle taga ka peidus olla - peale selle, et matemaatiliselt on see toon puhas ruutjuur kahest, on ta ka 3 tooniga võrdne intervall, mis võrdub aga samal ajal 6 pooltooniga.
Sellest juba kabalistile piisab, et seostada seda arvuga 666 ja Saturniga, mille peal olevat olnud keskajal kuradi pesitsuspaik...
Tritooni päästis kiriku käest ilmaliku muusika levik ja võrdtempereeritud häälestus. See tegi veidi imelikult kõlavad kõlad rohkem harjumuslikumaks ning mitmed heliloojad hakkasid tritooni võimalusi kasutama.
Näiteks kasutas Liszt seda motiivi oma "Dante sonaadis".
Levimuusikast on see tulnud mitmete rokkarite relvastusse (Black Sabbath, Metallica, kuid ma ei võta siin julgust rindu seda lähemalt kommenteerida), filmimuusikas kõlab tritoonseid akorde sagedasti igasugu koleduste sooritamise ajal, või vanakuradi väljakutsumise hetkedel.
Aga ka West Side Story kuulus "Maria" kasutab tritooni (kasvõi ma - ria, ma- ria, ma-ria laulmisel.)
Üks muusikaline illusioon on ka loodud tritooni motiivi kasutades. See põhineb selle akordi unikaalsel omadusel - ta jagab helirea täpselt pooleks.
Kuna oktaaviga eraldatud helid kõlavad koos, kattuvad meie helitajus,
võib kogu meie tajutavad helid paigutada tinglikult kellale. Kella 12 peal paiknegu do, 1 -le vastab do diees, ja nii edasi. Kell kuus on täpselt fa dieesi koht.
Kui nüüd kõlavad koos mingid noodid 12 pealt, kõikidest võimalikes kuuldavates oktaavides, nii et seda ei saa seostada kindla helikõrguse, vaid ainult tooniga ning sellele järgneb hüpe kella 6 peale (tritooni intervall), on tulemus määramatu:
kas helid läksid kõrgemaks või madalamaks, kas liigutakse kellaosuti suunas või kellaosuti vastassuunas.
Diana Deutsch on teinud vastavaid uurimusi selle tajumisel ja jõudnud järeldusele, et kui põhitooniks on la (110 hz), siis tajutakse tegelikult kõrgemal kõlavaid helisid madalamatena (intervalliks on määramatust tekitav tritoon), aga kui põhisageduseks on mõni kõrgem toon, näiteks mi, 165 Hz (tegelikult tehti katset 160 Hz peal, kuid püüdsin katset klaveri keelde ümber panna), tajutakse asja "õieti", kõrgemad toonid annavad "õige" taju. Mõned seda aga ei taju nii, inimesed erinevad siin ja järelikult on võimalik muusika, mida tajutakse erinevalt - mõni tajub laskuvat helirida, mõni tõusvat, tegelikult aga helilooja teadlikult lollitab publikut. Seda on juba tehtud rock ja filmimuusikas siin ja seal, näiteks on nn. Shepardi paradoks.
vt. http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/flinn/Illusions/ST/st.html,
kus helid kogu aeg nagu tõusevad ja laskuvad, aga seda tegelikult ei tee...


Lõpetuseks.




Ruutjuur kaks matemaatikas ja tritoon muusikas väljendavad kohta, kus harmoonia läheb üle kaoseks. Nende kohtadeta ei saa läbi ei muusika ega matemaatika, mõlema sisse on peidetud nii määramatused, ennustamatused, dissonantsid, ebakõlad ja saatana vembud.
Matemaatikas on seda asjaolu ammu väljendatud omapäraste paradoksidega, nagu õuna poolitamine sobivalt, et seda keerates kaks korda suurem õun kokku panna või kolme keha gravitatsioonilise liikumise probleemi kaosega põrkudes.
Ka muusika on pidanud leppima ebatäiuslikkusega, sest see tuleneb otseselt arvude olemusest: ratsionaalarvud ei suvatse paikneda ühtlaselt.
Muusika ilu peitub kuulaja kõrvades, nende võimes lasta ennast ebakõladest lollitada.
Matemaatika ilu peitub matemaatiku mõistuses, mis ignoreerib järjekindlalt kõige ilmsemaid ebakorrapära ilminguid looduses ja vägistab oma geomeetria järgi käima kõik osakesed Universumis aegade algusest peale.
Ilu aga ongi illusioon, kahjuks selline, ilma milleta meie elu oleks väljakannatamatu põrgu. Selle ilu nimel tehakse meeleldi pattu, mõtlemata Boschi maalidel kujutatud kurvale lõpule, mis tabab moosekante. Miks Bosch pole oma maalidel kujutanud aga matemaatikuid?

Bibliograafia:


1. Sissejuhatus häälestustesse
http://www.midicode.com/tunings/index.shtml

2. siit ka midagi
http://www.yuvalnov.org/temperament/


3. Üks doktoriväitekiri heli tajumisest
http://www.ema.edu.ee/htm/est/uudised/kaitsmised/Vurma_doktorivaitekirja_sissejuhatus.pdf
ja väitekiri ise:
http://www.ema.edu.ee/htm/est/uudised/kaitsmised/Allan_Vurma_doktorivaitekiri.pdf

4. Kuulamiseks ja entsüklopeediliseks taustainfoks:
http://et.wikipedia.org/wiki/Kategooria:Intervallid
diatoonilistest heliridadest:
http://et.wikipedia.org/wiki/Diatooniline_helirida


5. Loomuliku häälestuse kohta
http://en.wikipedia.org/wiki/Just_intonation

6. Allikate loetelu, millega võiks tutvuda üks õige muusikateoreetik:
http://et.wikipedia.org/wiki/Muusikateoreetiliste_tekstide_kronoloogiline_loend

7. Meie klaverihäälestajate tööpõllult:
Ants Saluraid:
http://www.pianotone.ee/firmast.php
Aare Pütsepp:
http://tartu.postimees.ee/250907/tartu_postimees/varia/284802_print.php

8. Naturaalse ehk harmoonilise häälestuse kohta üks koduleht:

http://www.justonic.com/homepage.html

9. Selline huvitav lugemine:
http://www.kylegann.com/tuning.html

10. Selline sait ja siit järgnev-tuleev:
http://www.medieval.org/

http://www.medieval.org/emfaq/zarlino/cclusion.html

s.h. tritoonist:
http://www.medieval.org/emfaq/harmony/tritone.html

11. Zarlino originaalteos, 2. osa sellest.
http://sonic-arts.org/monzo/zarlino/1558/zarlino1558-2.htm

12. Eestikeelne wiki artikkel võrdtempereeritud häälestusest.
http://et.wikipedia.org/wiki/V%C3%B5rdtempereeritud_h%C3%A4%C3%A4lestus

13. Bachi "Hästi tempereeritud klaveri" wiki artikkel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Well-Tempered_Clavier

Tritoonist:

14. http://en.wikipedia.org/wiki/Tritone


15. Tritooni paradoksist:
http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/flinn/Illusions/TT/tt.html#intro

Shepardi heliparadoksidst (pidevalt langevad helid, mis kuhugi ei lange).
http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/flinn/Illusions/ST/st.html

16. http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/magazine/4952646.stm

17. http://davidcherubim.net/tritone.htm

18. http://solomonsmusic.net/Bosch_Music.htm

19. http://www.examiner.com/x-373-SF-Classical-Music-Examiner~y2009m4d3-Diabolus-in-musica

20.

21.

22. ja nii edasi ja nii edasi ...