65537 külgse hulknurga lugu

Ajal, kui inimesed tegelevad parajasti olümpiakulla võitnud ujuja hammastega, ja meie meedia omapärase lakmuspaberina kajastab sellist jama ....

on ilmselt minu tegevus veidi ajast ja arust.

Ajasin nimelt taga jälge ühest matemaatilisest loost (mis praegu tundub, oli linnalegend). Matemaatika sellisel hetkel tundub ainukesena leevendavat masendust, mis tabab, kui kohtad inimesi sellist jama kajastamas ...  

Lugu ise aga oli järgmine:

Et olevat olnud üks väga, väga tubli tudeng, kes tüüdanud oma õppejõudu sedavõrd, et sundis teda lausuma - minge nüüd ja tulge tagasi 65537 külgse hulknurga konstruktsiooniga.

Tudeng tuligi, pärast 20 aastast tööd ja ulatas käsikirja 200 lehekülgse konstruktsiooniga.

Praegu säilitatakse seda käsikirja Göttingenis.

Tegelikult tegi selle nalja mingis loengus tuntud matemaatik John Littlewood ja seejärel paljud teised ...

Aga tõtt oli selles loos ka üsna palju, nagu selgus - just sellistel asjadel on saatus saada ümberlükkamatuteks linnalegendideks (Galileo - ta pöörleb siiski ja sadu sarnaseid).
Võhikutele, kes veel ei ole programmeerimist õppinud, lausun, et 65537 on kahe võrra suurem positiivsest arvust, mida on võimalik kajastada kahe baidi abil. Selline hästi “lühikene” arv võrrelduna pika, neljabaidise jurakaga, mis võtab juba kõvasti rohkem väärtusliku aparaadi mälu.

(Ja tegelikult on see arv 2 astmes 16 + 1.)

 Ülipikast täisarvust (hiigelsuur) ma parem ei räägigi, see raiskab 8 baiti ära....

See arv, nagu mõned teisedki, noh, see pagana pi näiteks, on mul (kahjuks osaliselt) meeles ja nimed, pagan võtaks ei püsi kuidagi mälus. Ega varsti ei püsi midagi, aga jätame selle jutu, sest hetkel on siiski jälle hea upitada ennast ja võrrelda kuulsa matemaatiku Paul Erdös-iga. Tema armastas oma sõpru tüüdata oma avastustega arvude vallast, helistades neile suvalisel kellajal.

Telefoninumbrid olid tal peas, mingeid jaburaid märkmikke või telefonimälu ta ei vajanud.
Aga mitte ühegi sõbra eesnime ei olnud. Vaid ühte kutsus ta eesnimepidi, selle mehe nimi oli Tom Trotter. Erdös kutsus teda Billiks.

Lugu algas aga kuulsa Fermat eksiarvamusest, et kõik 65537-ga sarnased arvud on algarvud. Taiplik lugeja muidugi sai kohe aru, et “sarnased” arvud on kujul 2 astmes 2 astmes k +1 (2**(2**k) + 1),
k = 0 ...4.

Neist esimesed 5 tükki (3 = 2**1 + 1, taibud teavad, et kaks astmes 0 on üks!!), siis 5 (2**2 + 1), 17 (2**4 +1), 257 (2**(2**3) + 1) ja

65537 (2**(2**4) + 1) on korralikud algarvud ja Fermat arvas, et ülejäänud ka on.

Ta lihtsalt ei viitsinud rohkem arvutada ja programmeerija ka ei olnud. Järgmine arv nimelt on selle neljabaidilise “pika” arvu maksimaalväärtus + 2, s.t. 4294967297.

Kõik sellised arvkoletised edaspidi lõppevad mdx 7-ga. Leonhard Euler aga hoolimata arvutite puudumisest leidis, et see koletis jagus 641-ga.

Edaspidi on täiesti tagajärjetult püütud sedatüüpi arvude seast algarve leida ja praeguseks on jõutud Fermat 33-nda arvuni (et äkki see veel juhtumisi on algarv).
Seda arvu ma teile siin tuua ei saa, sest siis lõpeb mu blogiruum kiirelt otsa.
Valem on muidugi 2**(2**33) + 1

jätame selle tüütu ühe praegu välja, võtame logaritmi ja saame, et seal on

log(2)*(2**33) ehk circa 26 00 000 000 numbrimärki. Kunagi oleks jagunud igale planeedi elanikule üks märk...
Mingite tavameetoditega selle arvu jagajaid leida on ka lootusetu, aga matemaatikud tavaliselt lõpuks leiavad mingi triki, kuidas tõestada, et see arv ei ole algarv või mingi väga peene trikiga otsivad väga suure Fermat arvu jagaja üles. Elame, näeme.

Noh, ja mis siis?

Tuleme tagasi korrapäraste hulknurkade ehitamise juurde:
Selgub, et paaritute külgede arvuga korrapäraseid hulknurki saabki ainult selliseid konstrueerida, mis on ERINEVATE Fermat algarvude korrutised. 

Paarisarvuliste külgede arvuga hulknurkadega peaks kõik tublid eestlased, kes kooliskäinud, hakkama saama, kui aluseks on mingi olemasolev paaritute külgede arvuga hulknurk, sest selle hulknurga külgedega tuleks lihtsalt vajalik arv kordi läbi viia lõigu poolitamine. Nii et kui N külgne hulknurk on konstrueeritav, on seda ka kindlasti (2**k)*N külgne hulknurk. Ja puhtalt kahe astmed ka, s.t. nelinurk, kaheksanurk ja koguni kuueteistnurk ja nii edasi ja edasi.

Aga kui me nüüd mingi m ja n - nurka oskame sirkli ja joonlaua abiga teha, siis kuidas saab valmis teha m*n nurga? Olgu nad ühistegurita ka. Võtad iga m nurga tipu (ringjoonel), lähed sealt n nurga külje kaugusele ja seal algatad n nurga. Kõik see punktide krempel kokku on m*n nurk.

Sirkli ja joonlaua taandasid mugavamad matemaatikud (algul, see tubli 65537 külgse hulknurga mees tõi sirklikonstruktsiooni ka ära) oma uuringute alguses välja (et tuvastada, miks 3 ja 5 nurka sai teha, 5 nurka oskasid teha juba kreeklased, kolmnurk on üldse banaalne triviaalsus.
ja 7-nurk ja 11-nurk ei tulnud millegipärast kuidagi välja.

Selle asemel, et sirkli ja joonlauaga jännata, tuli uurida nurga 360/n (moodsad matemaatikud 360/n asemel kirjutavad (2*pi/n)) koosinust ja siinust.

Kui ühesõnaga (piisab koosinusest, siinus järeldub sellest, see on jälle üks tüütu koolimatemaatika valem) ütleme koosinus on avaldatav sellise avaldisena täisarvudest, mis sisaldab VAID aritmeetikat (3*2+1)/4 näiteks ja (see on väga tähtis, ilma nende juurikateta ei tuleks midagi välja) RUUTJUURI, siis on asi sirkli ja joonlauga tehtav, see n külgse korrapärase hulknurga tegemine.

Võrdkülgne kolmnurga tehtavuse lause järeldub sellest, et  

cos(360/3) = -1/2

Pentagoni projekteerimine ka, sest

cos(360/5) = (sqrt(5)-1)/4

ning jälle on kõik OK!

ka cos(360/17) on (ei ole lihtne valem, ei hakka teid sellega tüütama, netist leiate selle küll üles) vastavate ruutjuurikate abiga kirjutatav ja selle põhjal saab enam-vähem teha valmis ka vastava sirkli-joonlaua konstruktsiooni.

Nüüd tuleb mängu matemaatik Karl Gauss, kes tõestas ära, algul siis cos(360/17) taanduvuse, seejärel, et ka iga cos(360/Fp) on ruutjuurikate abil avaldatav, kus Fp tähistab Fermat algarvu....

Gaussi mõttekäik üldiselt oli selline. Et mitte jännata ruutjuurikatega, tuleb asi taandada teatud tüüpi ruutvõrranditele.

Mis aga ruutvõrrandite lahendamisele tuli taandada, on üsna lihtne võrrand:
x**n - 1 = 0. Selle üks lahend on alati x=1 ja sisuline võrrand, millega tegelda, on

summa 1 + x + x**2 ... + x**(n-1) = 0.

Näited A:

n = 3 annab ühe lahendina x=1, ja teine pool taandub ruutvõrrandile

x**2 + x + 1. Selle võrrandi lahendi saab lihtsalt ruutjuurikatele taandada.

Järeldus, korrapärane kolmnurk on sirkli ja joonlauaga joonistatav...

B:

n=5 annab x**4 + x**3 + x**2 + x + 1 = 0 ja see taandub (kuidagi, ma ei hakka siin mõnele üliõpilase / õpilase uurimistööd ära tegema) kahele ruutvõrrandile.

ja nii edasi,

C

rida 1 + x + x**2 + ...+ x**16 = 0 lahendamise saab ka taandada jälle ruutjuurikatele...

Kes jälle matat õppinud, teab, et need juurikad on kompleksarvud, reaalosa on see ülalräägitud koosinus ja imaginaarosa siinus.

Nimetatakse minu mälu järgi neid asju veel ühejuurteks...

Gauss näitas, et

kõikide summade 1 + x + x**2 ... + x**Fp

puhul saab, kui Fp on Fermat algarv, ühejuuri täisarvude aritmeetika ja ruutjuurte abiga avaldada.

Ta võib-olla uuris ka seejärel 17nurga konstrueerimist. Äkki mõni teadusajaloolane leiab selle kohta mõne paberi?
Aga reaalse seitseteistnurga konstruktsiooni tegi tõenäoliselt esimesena ära 

Erchinger

AGA GAUSS ei näidanud, et teiste väärtuste korral ei saa ülesannet taandada

ruutjuurtele! Selle koha pealt on tema tulemust selgelt üle haibitud!

Seda tegi Pierre Wantzel 1837 ja (alles nüüd, hilinemisega) on seda tulemust hakatud nimetama

Gauss-Wantzeli teoreemiks.

Wantzel aga ei teinud ära 257nurga konstruktsiooni. Selle tegid ära

Magnus Georg Paucker (1822) ja Friedrich Julius Richelot (1832).

Ning lõpuks tuleb meie loo peakangelane, kellega ma oma jutu lõpetan ja kes pani ka lõpliku punkti igasugustele sirkli ja joonlauga askeldamisele Nnurkade tegemisel:

Johann Gustav Hermes avaldas 1894-ndal aastal 65537 nurga konstruktsiooni sirkli ja joonlaua abiga!

Kõik see jutt on hetkel Wikist mõne minutiga leitav, tänud sellele suurepärasele entsüklopleedilisele asjale!

Enne Johann Gustav Hermes-e elu looni jõudmist toon aga ühe väga intrigeeriva (õnneks üsna kergelt tõestatava / tõestus ka leitav netist) tulemuse.

Üldiselt on fakt, et kõik paarituarvuliste sirkli ja joonlaua hulknurkade konstruktsioonid taanduvad Fermat algarvude Fp korrutistele.

Neid saab aga kätte päris lihtsalt.
Koolist tuntud Pascali kolmnurga iga arvu asemele kirjutage selle arvu paarsus.

Sellise trikiga saab btw valmis teha Sierpinski kolmnurga (mis algselt nii ei olnud mõeldud).

Pascali kolmnurk (tehnilistel põhjustel ja laiskusest panen arvud üksteise alla)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

..... ja nii edasi ja edasi....

Nüüd kuulsa

Sierpinski kolmnurga (arvuline) esitus on aga selline:

1 = 1 ( ei lähe korrapärase hulknurga tegemisel arvesse)

1 1 = 3 kahendesitusena, 3nurka saab joonistada sirkli ja joonlauaga)

1 0 1 = 5 pentagon

1 1 1 1 = 15 3nurga ja pentagoni ristsugutis

1 0 0 0 1 = 17 17nurk, siit algab muu rahva jaoks kasutute hulknurkade paraad ...

1 1 0 0 1 1 = 51 ( 3*17nurk, st. ka seda nurka saab joonistada sirkli ja joonlauaga).

....

kõik sirkli ja joonlauga tehtavad hulknurgad on sierpinski kolmnurga kahendkoodid kuni 2-st kuni 32-nda reani. Ja siis edasi kuni lõpuni ei tule ühtegi sirkli ja joonlauga tehtavat hulknurka.

Natukene naturaalarvude natuurfilosoofiat:

Fermat arvud on matemaatikute jaoks mingid arvulised suurused, ülejäänud inimeste (ka füüsikud) jaoks on need matemaatilised koletised, millega enam midagi teha ei ole ja eriti vähe on teha teadmisega, et mingi 2.6 miljardi kohaline arv on kogemata algarv. Aga see probleemide ring on otsaga juba sealmaal, et näidata, kui vähe on isegi kõige “tavalisemate” naturaalarvude hulgal pistmist reaalsusega, rääkimata “reaalarvudest”.

Kui see F33 peakski olema algarv, siis ei saa sellise sirkli ja joonlaua tegemisega, et konstrueerida vastav “hulknurk” hakkama isegi vanajumal, sest selleks peaks ta oma Universumi uuesti looma, vaid selleks ülesandeks päratu suure, mingite väga veidrate loodusseadustega, mis võimaldaks mingit laadi sirkli ja joonlauga askeldust F33 poolt ettepandud mõõtudes...
Aga matemaatikute palatis on need mõttekonstruktsioonid igapäevane “reaalsus”.
Lõpmatust ei saa olla olemas, isegi mitte naturaalarvude oma, see lihtsalt viiks väga jaburate järeldusteni...On küll olemas päratu suur Universum, aga seal ei ole olemas lõpmatuid hulki, veel vähem lõpmatuid hulki lõpmatuid hulki, ja veel vähem saaks võtta lõpmatute hulkade hulgast valiku aksioomiga igast hulgast ühe elemendi ja teha uue hulga.
Aga matemaatikute palatis on see igapäev. Kes veel tahab ennast nende jaburustega kurssi viia, lugege Vilenkini “Jutustusi hulkadest”.
Siis hakkate ehk taipama, miks matemaatikud ise (erinevalt füüsikutest, kes matemaatikute lõbuks otsata lõpmatuid kontiinumivõimsusega hulki “normaliseerivad” - kas hullumeelsust saab normaliseerida??) oma objekte võtavad kerge huumoriga. Teisiti nad ei saakski oma tööd teha.

Selline paradoks ka - kui võtta, et Fermat arvud on nagu juhuslikud suurused arvteljel, siis iga arv Fermat arvude reas oleks nagu üks täringuvise. Lõpmatu arvu katsete järel võiks lõpuks ikka trehvata see üks õige, see algarvuline Fermat arv.

Aga nii ei ole - algarvulisus on selliste suurte arvude seas nii harv sündmus, et puht tõenäosuslik arvutus ütleks praegu kohe, et kui need Fermat arvud oleksid algarvude suhtes tõeliselt juhuslikud, siis tõenäosus, et selle lõpmatu kamba peale leiaks veel mõne algarvu, on nullilähedane.

Nii öelda puht juhusliku jaotuse korral oleks ülesanne statistiku (ja meediku) jaoks juba “tõestatud”.
Matemaatiku jaoks aga ei ole, teda ei rahulda, et uue Fermat algarvu leidmise tõenäosus on praeguseks kahanenud vaevalt miljardikuni!

Võib siiski juhtuda, et Fermat arvude omapärade tõttu on võimalik leida mingi viis, mis kõik need ülikolakad Fermat arvud mingil viisil kavalateks korrutisteks jagab (nii ongi kuni F32 teguriteks jagamisega jõutud,).

Võib aga juhtuda, et probleem jääbki lahendumatuks: s.t. väga suurte arvude puhul (Ackermanni arvud on veel suuremad monstrumid) ei ole isegi matemaatikutel võimalik midagi tõestada ega ka ümber lükata.

Johann Gustav Hermes - ühe tubli matemaatiku lugu.

Mul puudub selle tubli mehe pilt, kahjuks ei ole seda (vist) Internetti pandud. Göttingenis hoitava töö vist kusagilt võiks kätte saada.

Johann Gustav Hermes sündis 20 juunil 1846 Köningsbergis, tegi ära gümnaasiumi lõpueksamid 1866 ja seejärel õppis matemaatikat Köningsbergis.
Tema õpingud katkestas Prantsuse - Preisi sõda, ometi lõpetas ta oma õpingud 1872 ja kaitses 1879 doktorikraadi. Töötas ta aga kuni pensioneerumiseni gümnaasiumi õpetajana, hiljem ka ühe gümnaasiumi direktorina. Tollal oli see väga kõrge positsioon, võrreldes sellega, kuhu on praegu taandatud õpetaja ...
Hermes suri 1912.

Tema kõige kuulsam lause on kindlasti tema 1899 Osnbrüki gümnaasiumi direktoriks saamise puhul peetud inaugureerimuskõne lõpulause Kantilt:
"Geduld ist die Pforte der Freude."

( kannatlikus on värav rõõmuni).
See lause on kindlasti põhjendatud seda monumentaalset vaeva silmas pidades, mida nõudis sellise vägeva hulknurga konstrueerimine (aga tõenäoliselt ka kõike muud pühendumusega tehtut vaadeldes. Pareerin kõiki, kes seda naeruvääristama kukuvad - te ei ole lihtsalt SELLEST palatist).

Juba doktorikraadi teema oli kaudselt seotud kuulsa 65537 hulknurgaga (s.t. algarvudest kujul 2**m+1).

Aga punkt i-le siiski oli panemata - sirkli ja joonlaua konstruktsioon sellele hulknurgakesele tegemata.

4 novembril 1879 alustas see mees pärast päevatööd oma

“Diarium zur Kreisteilung” nimelist monumenti.
Kuna minu värav rõõmuni ei ole kindlasti mitte seotud erilise kannatlikkusega, siis ma seda asja uurima läinud veel ei ole.

Kuid on teada, et 1889 -l aastal tegi ta valmis oma kohvri 221-nda lehekülje, need suureformaadilised lehed sisalduvad tõesti vist mingis kohvris.

1894 suutis ta tippmatemaatikutest panna Felix Kleini selle vastu mõningast huvi ilmutama.
Nii ilmus selle saavutise kohta ka teadusartikkel.
Rohkemaks minu kannatlikkust ei jagunud oma saksa keele viletsaid teadmisi proovile panna. Sakslased on siiski Hermesi üle päris uhked ja ühte kui teist sellest kohvrist sisalduvast saab leida. Tõenäoliselt on selle sisu ka digitaliseeritud.

http://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes

https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Gustav_Hermes