Hilberti hotell

Ma kaldun arvama, et Jumal ei suuda luua kivi, mida ta ise ei suudaks tõsta.
Kui aga Jumala asemele kirjutada Matemaatik, on vastus jaatav.
Matemaatikute üks põhilisi objekte üldnimetusega ARV omab selliseid omadusi, millega arvu mõiste loonud matemaatikud enam kuidagi hakkama ei saa.
Kes valdab „änglishit“ (aga tõlkige maakeelde, kes viitsib), saab sellest aimu ülaltoodud videot vaadates. Aga ma pean viitamise mõttes selle põhilise sisu nii ehk nii ümber panema, seetõttu võite ka minu tekstist samu asju uurida.
Loo algus aga on kirjas Hilberti loengus aastast 1924, mille paradoksaalsuse tõttu selle mitmed väited on ümber pandud tavaisikutele arusaadavasse (täpsemini absurdini viivasse) keelde.
Pean siin asjakohaseks tsiteerida ka Hilberti kuulsat „nalja“, mis ta olevat teinud matemaatikast luule peale ümber spetsialiseerunud poeedi suhtes – jah, tal oli matemaatika jaoks LIIGA VÄHE FANTAASIAT. Hilbert ise aga oli seda öeldes täiesti tõsine.
Ja kogu arvude häda saab alguse mitte mingitest eksootilistest reaal- või imaginaararvudest, vaid tavalistest, loendamise teel saadud naturaalarvudest …
Niisiis, teil on kosmoses LÕPMATU kohtade arvuga hotell „Hilbert“.
Märkus: Kosmoses, sest Maal oleks liiga vähe ruumi. Isegi lamedus ei päästaks,  sest kusagil on lamemaateoreetikutel isegi sellele piirid ette tehtud (ja mis selle maailma veerekese järel tuleb, ei tea neistki vist keegi täpselt).
Aga kuidagi on juhtunud (programmeerijate tavaline mure – ükskõik kui suure mahutavusega ketas saab täis!) olukord, et hotell on täidetud. Ärilises mõttes on see muidugi väga hea, kahjuks ühe puudusega, mis on aga täiesti kõrvaldatav. Hotellis nimelt ei ole vabu kohti!
Skeptiliselt häälestatud inimesed võivad siin muidugi kahelda: millise valemiga saab lõpmatut hotelli täita inimestega nii, et vabu kohti üldse ei ole?
Oletame aga, et selline asi on juhtunud.
Kuidas aga üks õnnetu kosmoserändur veel siia hotelli mahutada? AINULT matemaatikud – ja mitte poeedid ega poliitikud – teavad vastust:
Selleks on vaja lihtsalt iga külastaja ümber kolida!
Toanumbriga i olev isik peaks ümber kolima tuppa numbriga i +1 ja edasi nii, nagu teid kooliõpikud on õpetanud matemaatilist induktsiooni käsitlevas osas.
Pärast neid askeldusi vabaneks tuba numbriga 1. (saladuskatte all ütlen, et ehitajad reserveerisid ühe salatoa numbriga 0 erikülalistele. Näiteks Donald Knuth või temasugused saaksid sellise numbri ilma üleliigsete askeldusteta).
Järgmine mõtteeksperiment matemaatikute absurdidest tekitaks veel hullema probleemi. Kui on olemas lõpmatu hotell, siis miks mitte ei võiks olemas olla lõpmatu kosmoselaev lõpmatu hulga kosmonautidega. Oletame siis, et sellesse naljakasse hotelli maabus ühel hetkel lõpmatu hulka tulnukaid sisaldav lõpmatu kosmoselaev. Kuidas neid hotelli mahutada?
Jälle on paaris ja paaritute arvude mõistet teadvale õpilasele lahendus vägagi lihtne.
Kui toanumbriga i olev isik koliks sellel sessioonil numbrisse 2*i, jääksid kõik paaritud numbrid tühjaks ja tulnukad õnnestukski hotelli vabanenud paaritutesse numbritesse ära paigutada.
Ei ole vist enam üllatav, et kui kohale saabuks kasvõi lõputu hulk lõpmata suuri kosmoselaevu, igas laevas lõpmatu hulk külastajaid, leiaks matemaatik ikkagi lahenduse.
Kõigepealt lennutame olemasolevad külastajad algarvu 2 astmete peale:
s.t. külastaja numbriga 1 saab numbri 2**1, 2 numbri 2**2 ehk 4 …. 5 külastaja numbri 32 ….64.s külastaja peaks juba üsna kaugele minema, number oleks 2**64 ….
Esimene kosmoselaev lõpmatust seeriast läheb nüüd samamoodi 3 astmete peale:

3, 9, 27 ….Järgmine 5 astmete peale ….
Ja nii edasi, sest algarve on lõpmatu arv.
Tulemina saab meil aga üsna hõredalt täidetud hotell, aga häirib see kuidagi matemaatikuid? (toad 6, 10, 12, 14, 15, 18 … kõik tühjad).
On olemas niinimetatud spiraali mööda liikumise meetod, kus see probleem saab ka lahendatud, aga säästkem ülejäänud külastajad edaspidiste kolimiste vaevadest, sest selle algarvude trikiga on meil nüüd kohe olemas lõpmatu arv vabasid kohti ja rohkem ümberpaigutusi edaspidiste tulunkate jaoks teha pole vaja.
Ülaltoodust saab skeptiline lugeja järeldada, et  ei ole vaja enam imestada selle üle, et matemaatikud oskavad ühest õunast kokku panna 2 õuna. Esialgne õun jagatakse 5 jupiks, 2 jupist saab kokku sama suure esialgse õuna, 3 jupist keerates-pöörates teise samasuguse õuna.
Kõik see häda lõpmatustega sai alguse juba naturaalarvudest. On siis vaja imestada, et füüsikud on neile kaasapandud matemaatikaga tegelikult üsna hädas, sest igal pool, kus nad kohtavad lõpmatusi, peab midagi ümber „normeerima“, et saada mõõdetavaid tulemusi.
Isegi need mustad augud, kus mateeria peaks olema ilusti kokku pressitud ühte nullsuurusega punkti, tulevad kunagi nii ümber normeerida, et see, mis seal toimub, saaks mingi reaalse tähenduse. Mustade aukude ümber toimuv muuseas on tähenduse juba saanud, sest selle musta augu serva peal toimuvad siiski mõõdetavad, jälgitavad protsessid ja näiteks kahe musta augu liitumise tagajärge – gravitatsioonilainet – oskame meie siin Maal juba mõõta.
Õieti öeldes lõpmatused on head senini, kuni reaalselt nendeni pole jõutud …
Näiteks igasugustes põnevates moodsates programmeerimskeeltes saab lõpmatustega „arvutada“ täpselt senimaani, kuni reaalselt arvutada pole vaja. Umbes nii peaksime me kogu Universumi lõpmatuse peale mõtlema.
Tegelikult äkki lõpmatusi ei olegi mujal olemas, kui meie peas, mugavuse mõttes?
Mitte ükski suurimgi kataklüsm Universumis ei ole mõõtuv sellega, mis toimub ühe matemaatiku fantaasias, üheainsa suletõmbe või võrrandiga mingit vastavust paika pannes.

Ja kogu selle hullusele alusepanija, Cantori õpetust õpetatakse lastele juba põhikoolis!
Saab siis veel naljana võtta Hilberti väidet poeetide kohta?