Ramanujaniga Koera minema ajamas

Piltidel: matemaatikud
Hardy ning Ramanujan
Pidasin ammu plaani taaselustada üht vana armu, nimelt suhet matemaatikaga. Olin umbes 12 aastane, kui see suhe elustus ning 19, kui ma ta ise oma hoolimatusest purustasin: füüsika võttis oma.
Ka see arm on nüüd roostes, kuid vanas eas on arvatavasti võimalik mõlemaid suhteid lappida ja veidikene oma truudusetuse süükoormat vähendada.
“Matemaatika, see on puhkus” (Lev Landau)
Mõistan alles nüüd nende sõnade täit tähendust, sest miski ei ravi mind inimsuhetes tekkinud haavadest paremini, kui tegelemine matemaatikaga.
Elame planeedil, kus sebivad inimesed ei ole kahjuks eriti täiuslikud.
Iga inimene vajaks seetõttu oma teokarpi, maja, kuhu pugeda peitu halbadel aegadel ja alles siis, väga ettevaatlikult oma tundlaid välja pistes, võib jälle seda ebatäiuslike suhete ja ahviinstinktidega pikitud maailma edasi uurida....
Eriti käibib see 2006 lõpus, kurja tulikoera enda juurest minema saates. Kuigi ma ei oska ikkagi midagi arvata Hiina horoskoopiast, tuleb see meelde. Ennustati ju 2006 seda, et inimesed on õelad, pahatahtlikud, ütlevad otse välja asju, mida varemalt ei öeldud, tülitsevad ja õelutsevad....
Varsti on see karm, aga õiglane aeg õnneks läbi ja saab aasta lõpetada jalahoobiga läinule, alustades puhtalt lehelt, lootusetult rumalana ja lootusetult lootusrikkana.

Hea, kui eneses see teokarp on olemas. Ilma selleta võib langeda fataalsesse tsüklisse, üritades suhet parandada suhtega, ebatäiuslikku ebatäiuslikuga, Saatanat välja ajada Peltsebuliga. See teokarp peab tingimata olema väline, mitte seotud inimestega, suhtlemisega, inimsuhete lõputu sansaaraga. Tuleb vaid kaasa tunda neile, kellele sellist maja pole kingitud, nii rasket seljas kanda ja ikkagi nii kaitsvat.
Mõnele on kaitsvaks teokarbiks luulekeel, luuletamine või teiste luuletatu lugemine.
Mõnele helid, missakeele müstika.
Mulle aga meeldib lapsest saadik mäng arvudega. Midagi tähelepanuväärset sellel teel ma siiski ei ole avastanud, kuid päästva teokarbimajana on matemaatika olnud mulle väga kasulik.
Ent maailmas on andeid ja ajusid, mis on tõeliselt imetabased.
Üheks selliseks imetabaseks, arvatavasti kõigi aegade suurimaks matemaatiliseks geeniuseks oli Srinivasa Ramanujan. Tema nimi mittematemaatikute seas tõenäoliselt on vähetuntud, kuna isegi täna on tema valemid enamikule professionaalsetele matemaatikutele peaaegu mõistetamatud. Tema valemite praktiline väärtus on hakanud ilmnema alles praegu, kuid põhiline ilmselgelt ei ole valemeis. Põhiline sõnum Ramanujanilt on sõnum tulevikust: sõnum sellest, mida võib inimene kunagi saavutada.
Isegi täna peetakse tema valemit, mis arvutab välja, mitmel viisil arvu N saab jagada liidetavateks, hüppeks matemaatika tulevikku, imeks.
Müstika on küll tema enamike teiste sarnaste valemite ümbert hakanud haihtuma, kuid seda alles aastkümnetepikkuste uuringute abiga.

Ramanujan sündis 22. detsembril 1887 Indias, Madrase linnast 400 km. edelas asuvas kohas nimega Erode. Aasta pärast viis tema ema ta Kumbakonanisse, Madrasele ligemal paiknevasse linnakesse, kus tema isa töötas ametnikuna.
Viie aastaselt pandi Ramanujan õppima algkooli, põhikooli astus Ramanujan 1898.
Seal tutvus ta esimest korda matemaatikaga tõsiselt ja alates 1900-st hakkas ta tegelema intensiivselt aritmeetiliste ja gemeetriliste ridadega, kust pärinevad ka enamik tema tulemustest.
On teada vaid üks kõrgema matemaatika alane raamat, mida Ramanujan tundis:
kellegi G.S Carri raamat “Sünopsis elementaarsetest tulemitest puhtas matemaatikas”.
(PS! Keegi ei pääse oma saatusest. Ramanujanile sattus kätte Carr, minule 6-ndas klassis Gerhard Rägo “Kõrgem matemaatika”, mälestus tädi ülikooliaegsetest farmaatsiaõpingutest. Ainuke raamat kodus sellest vallast ja ainuke, mis mind tõeliselt huvitas! Tänu aga põhiliselt Rägole, aga ka mõistvatele Kanepi õpetajatele, sattusin lõpuks õppima matemaatikat ja hiljem füüsikat TÜ-s)
Enamiku matemaatikast leiutas Ramanujan omal käel uuesti. 1902 näiteks selle, kuidas kuupvõrrandit lahendada, seejärel neljanda astme võrrandi lahendi (mina kunagi põrusin kuupvõrrandi alal ja kirjutasin hiljem kuupvõrrandi Cardano leitud lahendi ENEst maha).
Carri raamatu negatiivseks mõjuks oli Ramanujanile see, et ta ka edaspidi ei tõestanud peaagu ühtegi oma valemit – raamat oli vaid käsiraamatuks ja enamik tulemeid oli toodud tõestuseta. Ka oli raamat vananenud, kuna pärines aastast 1856.
Hiljem, Inglismaal veedetud 5 aasta jooksul oli matemaatik Hardyl ja Littlewoodil väga raske selgitada Ramanujanile seda, mida üldse tähendab matemaatiline tõestus. Tõenäoliselt kõik see, mis teistele vajas põhjendust või tõestust, oli Ramanujani jaoks lihtsalt “otseviidno” (see otseviidno pärineb küll Landau repertuaarist).
Hoolimata matemaatilise ettevalmistuse puudulikkusest olid vead tema valemeis ülimalt harvad. Veel veidram on see, et enamik Ramanujani põhilistest tulemitest on pärit just sellest ajast, mitte Inglismaa perioodist, kus mõned tulemid lõpuks ka tõestati tänu Littlewoodi ja Hardy ühistele pingutustele. Neist tulemeist kõige kuulsam on liidetavateks lahutuste arvu valem (lõplikult tõestas selle Rademacher).
1906 kolis Ramanujan Madrasesse, kus asus õppima Pachaiyappa' kolledzis, et ette valmistuda kõrgkooli astumiseks. Õnnetuseks ta haigestus ning sooritas hiljem kõrgkooli eksamid iseseisvalt. Ta põrus kõigis ainetes, v.a. matemaatika.
Järgnevatel aastatel töötas ta iseseisvalt matemaatika alal, ilma muude abivahenditeta matemaatikas. v.a. Carri raamat.
Tal õnnestus mõni oma töö avaldada ajakirjas, “Journal of the Indian Mathematical Society” 1910-1911, s.h. nn. briljantne uurimus Bernoulli arvude alalt 1911. (Need arvud tekivad loomulikult probleemist leida valem naturaalarvude k-ndate astmete summadele).
1911 proovis Ramanujan leida matemaatikaalast tööd, selle otsimise käigus pöördus ta Ramachandra Rao poole, kes oli üks India Matemaatika Ühingu asutajaliikmetest.
Tänu Rao toetusele õnnestus Ramanujanil saada raamatupidaja koht Madrases, kus ta sai jätkata oma matemaatika alaseid uuringuid.
Ühtlasi levis tema tuntus kiiresti ning ta julges saata omi töid koguni Inglise matemaatikutele, nimelt E W Hobsonile and H F Bakerile. Kumbki ei vastanud.
Seejärel Ramanujanil vedas: Olles näinud G.H Hardy 1910 a. raamatut “Order of infinity”, kirjutas ta 1913 jaanuaris Hardyle kirja, kus ta tutvustas omi tulemeid.
Ta kirjutas oma kirjas järgmist:
“Mul pole ülikooli haridust, aga olen läbinud tavalise koolikursuse. Pärast kooli lõpetamist pühendasin oma vaba aja matemaatikale. Ma pole ennast läbi tallanud konventsinaalest regulaarsest õppest, mida järgib ülikool, aga ma olen leidnud enesele uue tee. Olen spetsiaalselt uurinud koonduvaid riud ning neid tulemusi, mis ma sain, loetakse kohalike matemaatikute poolt lootustandvaiks.”

On üldse suur ime, et pärast sellist sissejuhatust Hardy üleüldse võttis vaevaks tutvuda ülejäänud kirjaga. Tänapäev oleks see vaevalt võimalik -
igasuguseid imepäraseid “geeniusi” on ju palju ja veel enam neid, kelle põhiülesanne on teistele jutumärkide või kurjast vaimust vaevatu siltide külgeriputamine. Nende kirjadega on tänapäeval tõesti üle ujutatud iga matemaatika õppetooli sahtel. On peaaegu 99.99999...% kindel, mis sealt leida võib:
mitte kui midagi, eriti kui avanguks on kiri kuskilt kolkast “mul pole ülikooli haridust ... pole konventsiaalsest õppest läbi närinud, olen ....leidnud “täiesti uue tee” jne....”
Enamik kõrgkoolitatud matemaatikuid, ka väga väljapaistvad, ümardavad selle 99.9999
kohe 100-ks ja on täiesti lootusetu nendele üritada selgeks teha seda, et keegi hindu kusagilt kolkast nimega Madras näeb midagi, mida tänapäeva matemaatika veel ei näe.
Hardy oli aga teisest puust. Ta oli matemaatiline esteet, virtuoos ja geenius arvuteoorias, kelle tööd tänini enamikule matemaatikutestki on küllaltki arusaamatud.
Estetism ja uks imedesse ei võimaldanud tal seda 99.99 ümardada 100-ks, nagu tegid tema kolleegid Hobson ja Baker.
Teine ime leidis aset aga kirja ülejäänud osaga tutvumisel.
Seal oli esitatud täiesti tõestamata kujul Ramanujani 120 tulemit. Need olid enamuses täiesti tundmatud ja arusaamatud Hardylegi. Ime toimus aga just seetõttu, et Hardy oli esteet ja ikka veel uskus inimõistuse imesse!
Niisiis, koos Littlewoodiga uurisid nad neid arusaamatuid tulemeid ning 8. veebruaril 1913 vastas Hardy Ramanujanile järgmist:
Ma olin äärmiselt huvitunud Teie kirjast ning teoreemidest, mida te seal esitate. Te võiksite sellest hoolimata aru saada, et enne kui ma saan hinnata teit poolt tehtu väärtust õiglaselt, on oluline, et võiksin tutvuda teie mõningate väidete tõestustega.
Teie tulemid jagunevad minu arvates enam-vähem 3 klassi:
1) On palju tulemusi, mis on juba teada või kergesti tuletatavad tuntud teoreemidest.
2) On tulemeid, mis, nii palju, kui ma tean, on uued ja huvitavad, aga pakuvad huvi pigem nende kuriossuse ja ilmsete raskuste tõttu, kui nende tähtsuse tõttu
3) On tulemeid, mis paistavad uued ning tähtsad....
Punkt 2 osas Hardy eksis. Need kurioossed tulemid on just sellised, mistõttu tänapäeval, peamiselt ühe matemaatiku, Berndt-i aastakümnetepikuse töö tõttu, Ramanujani tööd tunduvad meile töödene “tulevikust”. Aga kõige muu osas saab vaid tänulik olla esteet ja matemaatikageenius Hardyle tema abi eest temast tema enda hinnangul 4 korda enam geniaalse Ramanujani geeniuse avastamisel (Hardy 25, Ramanujan 100).


Hiljem kirjutas Hardy sellel teemal järgmist:
“Ühest pilgust neile valemeile on küllalt, et näha - need said olla kirjutatud vaid kõrgeima klassi matemaatiku poolt. Nad peavad olema tõesed, sest kui nad ei oleks tõesed, ei oleks kellelgi kujutlusvõimet neid valemeid leiutada!”
Ramanujanil oli aga tollal väga vähe süüa ja ta kirjutas Hardyle vastuseks:

Olen Teis leidnud sõbra, kes suhtub minu töödesse sümpaatiatundega.... Ma olen juba poolnälginud mees. Et säilitada minu ajusid, vajan toitu ning see on minu esimene soov. Igasugune toetav kiri teilt oleks mulle abiks, selleks, et saada uurimiseks töökoht ülikooli või valitsuse poolt finantseerituna.
Päras Hardy kirja Ramanujan selle koha tõesti sai, Madrase Ülikool võttis ta oma leivale maist 1913, ainukese murena kirjutada oma töödest aruanne kord kvartalis.
Seejärel aga kutsuti Ramanujan Hardy poolt koguni Cambridge.
Et aga sinna jõuda, oli vaja ületada esimene, väga oluline takistus.
Ramanujan oli nimelt brahmanismi usku, mis keelas reisimise. Seetõttu oli reisiks vaja väga palju veenmisi ning lõpuks ka tema vanemate toetust.
Veendunud lõpuks, et ettevõetav merereis on tema brahmaani usuga kooskõlas, asus Ramanujan 1914 aasta märtsis Cambridge suunas teele.
1914, 14. aprillil oli Ramanujan lõpuks Londonis ning seejärel Cambridges.
Inglismaal veetis Ramanujan 5 aastat, 1919 pöördus ta tagasi Indiasse, kus aga halva tervise tõttu 1920 26. aprillil suri.
PS!
Tänapäeva teadmised lubavad kinnitada, et Ramanujan oli tegelikult kergesti ravitav.
Tema probleemiks olid teatud parasiidid, mis elavad inimese maksas, Indias levinud tõbi, vähetuntud aga Inglismaal.
Kogu Inglismaal veedetud aja vältel oli Ramanujan enamasti haige. Ta oli põhimõtteline fatalist ning taimetoitlane, head taimetoitu aga oli tollal Londonis sõja tõttu väga raske saada. Seetõttu viibis Ramanujan sageli haiglates. Hoolimata sellest jätkas ta pidevalt tegelemist matemaatikaga...

Kõige esimene probleem, millega Hardy ja Littlewood aga matemaatika alal kokku puutusid, oli Ramanujani vähene matemaatiline haridus. (ka Hardy soovitud tõestused Ramanujani valemitele jäidki tulemata). Inglismaa perioodil avaldati vaid uusi tulemeid, vanad valemid jäid sellel ajal unarusse.

Hardy ja Littlewood olid siin tõesti hädas.

“See oli äärmiselt raske [jutt käib Ramanujanile matemaatika õpetamisest ] ,
sest iga kord, kui nimetati mõnda teemat, mis tundus Ramanujanile vajalik selgeks õpetada, oli Ramanujani vastuseks originaalsete ideede laviin, mis tegi Littlewoodil peaaegu võimatuks kinni pidada esialgsest kavatsusest....”
Algas sõda, mistõttu Littlewood värvati sõjaväeliste kohustuste täitmisele. Hardy jäi Ramanujaniga Cambridge.
1916 omandas Ramanujan bakalaureusekraadi (tollal vastas see meie enam-vähem meie magistrikraadile ).
Ramanujani dissertatsiooni teemaks oli “Highly Composite numbers” ning see koosnes 7-st Inglismaal avaldatud artiklist sellel teemal (Highly composite vaste osas eesti keeles jään jänni, minu matemaatika alane eestikeelne terminoloogia lonkab siin kahte jalga, see on umbkaudne vastand algarvudele, HCN definitsiooni kohaselt on need sellised arvud, mis omavad enam jagajaid, kui ükskõik milline neist väiksem arv)
18 veebruaril 1918 valiti Ramanujan Cambridge Filosoofiaühingu (“Cambridge Philosophical Society”) liikmekas, hiljem koguni Londoni Kuningliku Teadusühingu liikmeks (London Royal Society). [Vabandan tõlkeliste lapsuste päraste ette!]
Kogu Inglismaa matemaatiline eliit toetas ühehäälselt Ramanujani valimist, tegemist oli tõesti erakordse geeniusega!
Hardy aus hinnang Ramanujanile oli selline:
David Hilbert sai 80 palli, Hardy 25, Littlewood 30 ning Ramanujan muidugi 100 palli.
1918 andis Ramanujani tervis lootust parenemisele. Seetõttu lootis Hardy, et tagasipöördumise järel Indiasse ootab Ramanujani ees õnnelik matemaatiline karjäär.
Kahjuks nii ei läinud, 26. aprillil 1920 Ramanujan suri.

Ramanujani saatus pärast tema surma.
Ramanujan jättis endast maha suure hulga tõestamata valemeid ja märkmeid.
Enamik neist sattus hoiule Birminghami matemaatikaprofessori Watsoni kätte, kes neist paljud avaldas. Seejärel jäi Ramanujan mõneks ajaks unustusse, kuni
1970-ndatel aastatel hakkas Ramanujaniga taas tegelema matemaatik Berndt. Mitmekümne aastase hoolika töö tulemina on nüüdseks enamik Ramanujani valemeid tõestatud, paljudest said teenäitajaks kaasaegses matemaatikas. Antakse välja ajakirja
“Ramanujan Journal”.
Üks näide: Fourier pöörde kiireim teadaolev algoritm põhineb Ramanujani arvudeks nimetatud erilistel omadustel (seda läheab vaja ntx tuumamagnetresonantsspektroskoopias signaalist mõtestatud kolmemõõtmelise pildi saamiseks)
Üheks Ramanujani tööde kõrvalproduktiks said valemid Pi väljaarvutamiseks. Tänu temale õnnestus leida algoritmid, mis võimaldavad tänapäeva arvutitel arvutada seda konstanti miljardite komakohtade täpsusega. Praeguseks on teada kusagil 6 miljardit (kui juba mitte 10!) komakohta. Praktiline väärtus sellel tööl enamasti seisneb hiidarvutite testimises, kuid ometi on sellel tegevusel ka teatud esteetiline väärtus.
6 miljardit arvutatud komakohta tõestavad sedagi, et pi on väga “normaalne” irratsionaalarv.
Ei ole ühtegi numbrit, mis esineks pi kümnendesituses ülearu tihti, kõik juhuslike arvude testid läbib see konstant senini edukalt.
Tõsi, esimese 31 komakoha seas ei ole pi kümnendmurruesituses ühtegi nulli,
pi = 3.141592 653 589 793 238 462 643 383 279 5 0Lisaks on kusagil 762-ndal komakohal võimalik kohata huvitavat 9-te jada.
999999 ..., mis tõenäosusteooria järgi võiks esimesena esineda nii 100000-ndas positsioonis.
Seda kohta pi kümnendesituses nimetatakse Richard Feynmani auks Feynmani punktiks tema ühes loengus esitatud kalambuuri pärast (umbes sellis sisuga - kui mul oleks piisavalt hea mälu, loeksin ett pi 3.14159 ....kuni 134999999 ja nii edasi )
[ kopy peist nende komakohtadega on all:
π = 3.
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923 0781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460 9550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954 9303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485 6692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817 4881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384 1469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185 4807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244 0656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176 7523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091 7363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201 995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999
Pi- ga seoses peetakse igal aastal Ameerikas 14. märtsil pi päevi, mille kulminatsioon saabub muidugi kl 1:59 ...
Võisteldakse selle arvu komakohtade meeldejätmise võimes ning paljud on Feynmani punkti ka saavutanud. Aga jaapanlaste vastu mikid ei saa – on teada üks jaapanlane, kes retsiteeris umbes 17 tunni vältel veatult ette pi 42 000 komakohta.
Nii et jätke lootus ennast võrrelda jaapani ajudega!

Ei hakka lugejaid piinama edasiste Ramanujani leiutatud tuhandete valemitega, millese ka allakirjutanu suhtub sama harda aukartusega, nagu pärismaalane lennukisse.
Mulle tundub tänase päevani, et nii suhtub enamik professionaalseid matemaatikuid Ramanujani valemitesse. Nad küll on õppinud neid valemeid tõestama, kuid ei ole võimelised lisama märkimisväärselt juurde uusi. Nagu Feynmani kirjeldatud pärismaalased-lennukikummardajad osatakse küll kõik teha nii, nagu valemites ette näidatud (pärismaalased oskasid ka lennuradasid teha ja tulesid põletada, aga lennukeid rajal lendama ei hakanud), ometi ei osata ikkagi veel näha seda, kuidas sellisele mõtlemistasandile võib üldse jõuda...
Mulle annab see meie tobedas maailmas lootust.

“Ebahuvitava arvu 1729 lugu”...
Et mitte siiski matemaatikat selles kirjutises täiesti vaeslapseks jätta,, kirjeldan ühte matemaatilist, laiemale publikule ehk veidi mõistetavamat kõrvalprobleemi, mis nagu muuseaas tuli ilmsiks seoses ühe Hardy külaskäiguga Ramanujani poole haiglasse 1918.
Nagu Arvo Pärt peab heliloomingus olulisemaks seda, et väga armastatakse iga tooni,
nii arvatavasti sobib Ramanujani motoks armastus iga arvu vastu.
Iga asja, millega tegeldakse, peab õppima armastama. Siis tulevad ka tulemused.
Hardy-l ja Ramanujanil oli kombeks haiglas arutleda arvude huvitavate omaduste üle.
Sedapuhku aga kurtis Hardy – sõitsin haiglasse taksoga, mille numbriks oli 1729. Ei midagi huvitavat, 7 * 13 * 19. Täiesti ebahuvitav arv!
Vastupidi, kõlas momentaalne vastus – 1729 on väga huvitav arv .
Esimene selline arv, mis on esitatav kahe täiskuubi summana, 12 kuup + 1 (kuubis)
ning 10 kuubis + 9 kuubis.
See hämmastav arv aitas mul sisustada ühte sõitu Rakvere-Tartu jõuluajal, kus toore jõu meetodil leidsin kinnituse Ramanujani väite paikapidavuses.